Факторіал

У сім'ї - шість чоловік, а за столом в кухні - шість стільців. У
сім'ї вирішили кожен вечір, вечеряючи, розсаджуватися на ці
шість стільців по-новому. Скільки днів члени сім'ї зможуть
робити це без повторень?

Для зручності будемо вважати, що сім'я (бабуся, дідусь,
мама, тато, дочка, син) буде розсаджуватися по черзі.

У бабусі - 6 варіантів вибору стільців.

У дідуся - 5 варіантів вибору стільців.

У мами - 4 варіанти вибору стільців.

У тата - 3 варіанти вибору стільців.

У дочки - 2 варіанти вибору стільців.

У сина - 1 варіант вибору стільців.

За правилом множення: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 (днів).

Визначення

добуток натуральних чисел від одиниці до n
включно, позначається n!:

n! = 1 × 2 × 3 × 4 ×...×( n - 2) × (n - 1) × n.

«factor» - «множник»

«Ен факторіал» - «складається з n множників ».

n

1

2

3

4

5

6

7

n

1

1∙2=2

2!∙3 = 6

3!∙4=24

4!∙5=120

5!∙6=720

6!∙7=
=5040

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ...(n – 2) ∙ (n- 1) ∙ n

n! = (n - 1)! ∙ n

Приклад: 7! ∙ 4! 6!∙ 7∙ 4! 7

6! ∙ 5! 6! ∙ 4! ∙ 5 5

Приклад:

Скількома способами чотири злодія можуть
по одному розбігтися на всі чотири сторони?

Рішення: Нехай злодії розбігаються по черзі.

У першого - 4 варіанти вибору

У другого - 3 варіанти вибору

У третього - 2 варіанти вибору

У четвертого - 1 варіант вибору

За правилом множення 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24

Відповідь: 24 способи.

У 10 класі в середу сім уроків: алгебра,
геометрія, література, російська мова,
англійська мова, біологія та фізкультура.
Скільки можна скласти варіантів розкладу
на середу?

Для алгебри - 7 варіантів розташування в
розкладі

Для геометрії - 6 варіантів

Для літератури - 5 варіантів і т.д.

За правилом множення отримуємо

7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5040

Теорема: n різних елементів можна
розставити по одному на n різних місць
рівно n! способами.

Число всіх перестановок множини з n
елементів дорівнює n!

Рn = n!

Р – перестановки

Р3 = 3! = 6, Р7 = 7! = 5040.